Refroidissement d'un objet chaud dans l'eau

Un objet métallique chauffé à haute température est plongé dans un bain d’eau maintenu à température constante. On mesure la température de l’objet au cours du temps. On obtient le graphique suivant donnant la température du corps en °C en fonction du temps en minutes. 

On suppose que le refroidissement suit le modèle : \(T(t) = T_{\text{env}} + (T_0 - T_{\text{env}}) \text e^{-\text{k}t}\) où :

• \(T(t)\) est la température de l’objet à l’instant \(t\) (en minutes) ;
  
• \(T_0\) est la température initiale de l’objet (en °C) ;
  
• \(T_{\text{env}}\) est la température du bain supposée constante (en °C) ;
• \(\text{k}\) est une constante positive.
  

Partie A : détermination de la fonction \(T\) à l'aide de la courbe représentative

1. Par lecture graphique, donner la température initiale \(T_0\) de l’objet.
2. Par lecture graphique, donner la température du bain \(T_{\text{env}}\).

Propriété
Soit \(a\in\mathbb R\) et \(b\in \mathbb R^{*}_+\). On a alors \(\text e^a=b ~~\Leftrightarrow ~~a=\ln(b)\) où \(\ln\) est la fonction logarithme népérien.

3. En utilisant la propriété, la calculatrice et la donnée \(T(2) = 72\), déterminer une valeur approchée de \(\text{k}\) à \(10^{-3}\) près.
4. Donner l'expression de \(T(t)\).

Partie B : étude de la fonction \(T\).

On suppose maintenant que \(T(t)=36+54\text e^{-0,202t}\). 
5. Déterminer \(\lim\limits_{t\rightarrow+\infty}T(t)\). Expliquer le résultat trouvé dans le contexte de l'exercice.
6. Dresser le tableau de variations de \(T\). L’objet peut-il atteindre une température inférieure à \(30\)°C ? \(\)
7. Déterminer la température au bout de \(15\) minutes.